A n á l i s i s   M a t e m á t i c o Ejercicios resueltos de libros reconocidos
 Aurelio Baldor Julio Rey Pastor Tom M. Apostol Richard Courant
Frank Ayres Louis Leithold Dennis G. Zill Edwards y Penney
Murray R. Spiegel George Simmons Blanchard-Devaney-Hall Boyce y DiPrima

Louis Leithold

Capítulo 1
"Funciones, límites y continuidad"

Ejercicios 1.1: Funciones y sus gráficas
E
n los ejercicios 1 a 4, determine si el conjunto es una función. Si es una función,
determine su dominio
En los ejercicios 11 a 46, dibuje a mano la gráfica de la función y determine su dominio y contradominio.

Ejercicios 1.2: Operaciones con funciones y tipos de funciones

En los ejercicios 27 a 32, exprese h como composición de las dos funciones f  y  g en dos formas.

En los ejercicios 33 a 38, trace la gráfica de la función y a partir de ésta conjeture si la función es par, impar o de ninguno de estos dos tipos. Después confirme su conjetura analíticamente.


Ejercicios 1.3: Funciones como mdelos matemáticos
En cada ejercicio, obtenga una función como un modelo matemático de una situación particular. Muchos de estos modelos aparecerán posteriormente en el texto cuando se aplique el Cálculo a la situación. Defina la variable independiente y el valor de la función como un número e indique las unidades de medición. En algunos de los ejercicios, la variable independiente, por definición, puede representar un número no negativo. Por ejemplo, en el ejercicio 1 si x representa el número de trabajadores, entonces x debe ser un número entero no negativo. En tales ejercicios, para satisfacer los requirimientos de continuidad (que la gráfica no se rompa) necesarios para aplicar el Cálculo posteriormente, considere que la variable independiente representa un número real no negativo. No olvide concluir el ejercicio escribiendo una conclusión.

Ejercicios 1.5: Definición de límite de una función y teoremas de límites
En los ejercicios 1 a 10, demuestre, aplicando la definición 1.5.1, que el límite es el número indicado.

 

Capítulo 2
"Derivada y diferenciación"

Ejercicios 2.1: "Recta tangente y derivada"
En los ejercicios 1 a 6, obtenga una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación en el punto dado. Dibuje la gráfica de la ecuación y muestre un segmento de la recta tangente en el punto.
En los ejercicios 13 a 20, obtenga las ecuaciones de las rectas tangente y normal de la curva en el punto indicado. Trace una gráfica de la curva junto con la tangente y la normal.
En los ejercicios 21 a 24 hay que hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva que a su vez son paralelas o perpendiculares a otra recta cuya ecuación se da.
En los ejercicios 31 a 38, obtenga la derivada indicada.

Ejercicios 2.2: "Diferenciabilidad y continuidad"


Ejercicios 2.3: "Teoremas de la diferenciación de funciones algebraicas"
En los ejercicios 1 a 24, diferencie o derive la función dada mediante la aplicación de los teoremas de esta sección.
En los ejercicios 25 a 36, calcule la derivada que se indica aplicando los teroemas de esta sección.

Ejercicios 2.4: "El movimiento rectilíneo y la derivada como intensidad de variación relativa"


Ejercicios 2.5: "Derivadas de las funciones trigonométricas"
En los ejercicios 1 y 2 hay que deducir las derivadas de las funciones cotangente y cosecante.
En los ejercicios 3 a 16, determine la derivada de la función que se indica.
En los ejercicios 17 a 30, calcule la derivada que se indica.
En los ejercicios 31 a 42, obtenga f '(a) para el valor dado de a.

Ejercicios 2.6: "Derivada de una función compuesta y regla de la cadena"
En los ejercicios 1 a 12, obtenga la derivada de la función que se indica.
En los ejercicios 13 a 24, calcule la deivada que se indica.

Ejercicios 2.7: "Derivada de la función potencia con exponentes racionales"
En los ejercicios 1 a 24, obtenga la derivada de la función que se indica.

Ejercicios 2.8: "Diferenciación implícita"



Ejercicios 2.9: "Rapideces de variación relacionadas"
En los ejercicios 1 a 8, x, y son funciones de una tercera variable t.
Los ejercicios 9 a 44 son de aplicación práctica.

Ejercicios 2.10: "Derivadas sucesivas o de orden superior"
En los ejercicios 1 a 16, obtenga la primera y segunda derivada de las funciones.


Capítulo 3
"Comportamiento de las funciones y de sus gráficas"


Ejercicios 3.1: "Valores máximo y mínimo de una función"
En los ejercicios 1 a 20 obtenga los números críticos de la función dada.

Ejercicios 3.2: "Aplicaciones con un extremo absoluto en un intervalo cerrado"
En algunos de los ejercicios, la variable independiente, por definición, puede representar un entero no negativo. Por ejemplo, en el ejercicio 17, si x represnta el número de estudiantes, entonces x debe ser un entero no negativo. En dichos ejercicios, para tener los requisitos necesarios de continuidad para aplicar el cálculo, se hace que la variable independiente represente un número real no negativo.


Capítulo 4
"Integral definida e integración"


Ejercicios 4.1: "Antiderivación"

En los ejercicios 1 a 36, efectúe la operación de antidferenciación. En los ejercicios 1 a 8, 15 a 18 y 31 a 34 verifique el resultado determinando la derivada de su respuesta.

Capítulo 5
Funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas inversas e hiperbólicas

Ejercicios 5.1: Inversa de una función
En los ejercicios 1 a 6, utilice el criterio de la recta horizontal para determinar si la función es uno a uno. Grafique la función dada.

 

Capítulo 7
Técnicas de integración, formas indeterminadas e integrales impropias

Ejercicios 7.1: Integración por partes

En los ejercicios 1 a 24, evalúe la integral indefinida. Verifique la respuesta mediante diferenciación.


Ejercicios 7.7: Forma indeterminada 0/0 y Teorema del valor medio de Cauchy
En los ejercicios 11 a 16, calcule el límite, si existe, y apoye gráficamente la respuesta.
En los ejercicios 17 a 28, evalúe el límite si existe.

Ejercicios 7.8: Otras formas indeterminadas

En los ejercicios 9 a 16, calcule el límite, si existe, y apoye gráficamente la respuesta:


Ejercicios 7.9: Integrales impropias con límites de integración infinitos
En los ejercicios 1 a 18, determine si la integral impropia es convergente o divergente, y si es convergente evalúela. Apoye gráficamente la respuesta.
Ejercicios 7.10: Otras integrales impropias
En los ejercicios 1 a 26, determine si la integral es convergente o divergente. Si es convergente, evalúela y apoye gráficamente la respuesta.


Capítulo 8
"Aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas"

Ejercicios 8.2: "Sucesiones"
En los ejercicios 1 a 20, escriba los primeros cuatro elementos de la sucesión y determine si es convergente o divergente. Si la sucesión converge, calcule el límite y apoye gráficamente la respuesta.

Ejercicios 8.3: "Series infinitas con términos constantes"

En los ejercicios 9 a 13, exprese con la notación sigma la serie infinita que es la sucesión de sumas parciales. También determine si la serie es convergente o divergente; si es convergente, obtenga su suma.
Ejercicios 8.4: "Series infinitas de términos positivos"
En los ejercicios 1 a 24, determine si la serie es convergente o divergente aplicando el criterio de comparación o el criterio de comparación por paso al límite.
En los ejercicios 25 a 32, aplique el criterio de la integral para determinar si la serie es convergente o divergente.
En los ejercicios 33 a 48, utilice cualquier método para determinar si la serie es convergente o divergente
Ejercicios 8.5: "Series infinitas de términos positivos y negativos"
En los ejercicios 1 a 24, determine si la serie alternante es convergente o divergente.
En los ejercicios 15 a 22, obtenga una cota superior para el error si la suma de los primeros cuatro términos se emplea como una aproximación de la suma de la serie infinita.
En los ejercicios 23 a 28, calcule la suma de la serie infinita, con una exactitud de tres cifras decimales.
En los ejercicios 29 a 48, determine si la serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.
Justifique la respuesta.
Ejercicios 8.7: "Series de potencias"
En los ejercicios 5 a 32, determine el intervalo de convergencia de la serie de potencias.
Ejercicios 8.8: "Diferenciación e integración de series de potencias"
En los ejercicios 29 a 32, obtenga una representación en series de potencias de la integral y determine su radio de convergencia. Apoye gráficamente la respuesta.
En los ejercicios 41 a 46, calcule con una exactitud de tres cifras decimales el valor de la integral definida empleando series.
Ejercicios 8.9: "Series de Taylor"
En los ejercicios 9 a 14, obtenga una representación en serie de potencias para la función en el número a, y determine su radio de convergencia.


Capítulo 12


Ejercicios 12.3: "Derivadas parciales"
En los ejercicios 1 a 6, aplique la Definición 16.4.1 para obtener cada una de las derivadas parciales.
En los ejercicios 7 a 10 aplique la Definición 16.4.2 para determinar cada una de las derivadas parciales

 

Apéndice
Temas de matemáticas previos al cálculo
 

A.1: Números reales y desigualdades
En los ejercicios 1 y 2, acomode los elementos del subconjunto dado de R en el mismo orden que sus puntos correspondientes de la recta numérica real de izquierda a derecha.
En los ejercicios 7 a 14, haga lo siguiente: (i) muestre el conjunto sobre la recta real; (ii) represente el conjunto por medio de notación de intervalos; (iii) describa el conjunto en palabras.
En los ejercicios 15 a 18, muestre el intervalo sobre la recta numérica real y utilice la notación de conjuntos y símbolos de desigualdad para denotar el intervalo indicado.
En los ejercicios 21 a 24, muestre los puntos que corresponden a u y v sobre la recta real y después calcule la distancia entre ellos.
En los ejercicios 25 a 30, demuestre que las dos desigualdades son equivalentes.
En los ejercicios 33 y 34, utilice la desigualdad del triángulo para demostrar la proposición indicada.

A.2: Coordenadas y gráficas de ecuaciones
En los ejercicios 1 y 2, localice el punto P en un sistema coordenado cartesiano rectangular y determine el cuadrante en que se encuentra.
En los ejercicios 3 a 8, localice el punto P y cada uno de los puntos siguientes en un sistema coordenado cartesiano rectangular. (a) El punto Q tal que el segmento de recta de P a Q sea perpendicular al ejex y bisecado por dicho eje. Proporcione las coordenadas de Q. (b) El punto R tal que el segmento de recta de P a R sea perpendicular al ejey y bisecado por este eje. De las coordenadas de R. (c) El punto S tal que el segmento de recta de P a S sea bisecado por el origen. Proporcione las coordenadas de S. (d) El punto T tal que el segmento de recta de P a T sea perpendicular a la recta a 45° que pasa por el origen y biseca los cuadrantes primero y tercero, y que biseque al segmento PT. De las coordenadas de T.
En los ejercicios 9 y 10, haga lo siguiente: (a) determine las coordenadas del punto medio M del segmento de recta de A a B; (b) localice los puntos A, M y B en un sistema coordenado cartesiano rectangular y demuestre que |AM | = |MB|.
En los ejercicios 11 y 12, dibuje el triángulo que tiene vértices en A, B y C y calcule las longitudes de los lados.
En los ejercicios 25 a 32, haga lo siguiente: (a) verifique la simetría de la gráfica de la ecuación (i); (b) dibuje la gráfica de la ecuación (i); (c) trace las gráficas de las ecuaciones (ii) y (iii) en el mismo rectángulo de inspección; (d) compare las curvas obtenidas en los incisos (b) y (c).
En los ejercicios 33 y 34, dibuje la gráfica de la ecuación.
En los ejercicios 35 a 38, verifique la simetría de la gráfica de la ecuación y después trace la gráfica.
En los ejercicios 39 a 44, trace las gráficas de las ecuaciones de cada ejercicio en el mismo rectángulo de inspección.

A3: Rectas
En los ejercicios 1 a 6, dibuje la recta que pasa por los puntos A y B y determine la pendiente de la recta.