Vectores

Autora: Silvia Sokolovsky


Los vectores son magnitudes representadas por un segmento dirigido (flecha). Se caracterizan por poseer:

a) Una longitud, la que es representada por un valor numérico al que llamaremos módulo (también se la denomina norma)

b) Una dirección, que es la  recta a la que pertenece 

c) Un sentido. La recta posee dos sentidos, generalmente estos se indican  mediante signos "+" para un lado y "-" para el otro.  

Los vectores pueden situarse el plano, o sea dos dimensiones, en el espacio, desde tres hasta infinitas dimensiones.

Veamos los vectores en el plano, las mismas propiedades pueden ser aplicadas en todas las otras dimensiones. Es así que podemos escribir su origen y su extremo como puntos (x, y). La ubicación de estos puntos le dará el sentido al vector. Si el origen del vector es, por ejemplo, A = (1, 1) y el extremo B = (4, 5), el vector será AB (de A hasta B). 

Resulta interesante destacar que las coordenadas de estos puntos determinan un triángulo rectángulo, de manera que su módulo puede calcularse aplicando el teorema de Pitágoras. De manera que la longitud de cada cateto coincide con el valor que debería tener el vector si su origen fuera el centro de coordenadas.

Es así que al hacer: (4 - 1; 5 - 1) = (3; 4) vemos que la resta de las componentes horizontales y verticales nos determinan al vector.

(vector) $  = B - A = (4, 5) - (1, 1) = (4 - 1; 5 - 1) = (3; 4)

Generalicemos:

Sea A = (a, b) y B = (c, d); el vector AB ($ ) lo calcularemos haciendo la diferencia de B - A = (c - a, d - b)

Para calcular la longitud del vector (módulo) aplicamos Pitágoras:.

De aquí en adelante el origen de los vectores será siempre el origen de coordenadas, por lo tanto se designará a un vector sólo con el punto que determina su extremo.

Sea A un vector de n dimensiones, A = {a1, a2, a3, . . . an} llamamos módulo, norma o simplemente longitud del vector al valor numérico (escalar) determinado por:

 

Resta de Vectores:

Restar dos vectores geométricamente implica "trazar" un tercer vector desde el extremo del primero hasta el extremo del segundo. Aritméticamente restamos las componentes verticales y horizontales entre sí.

A = (7, 2)

B = (5, 4)

A - B = (7, 2) - (5, 4) = (7 - 5, 2 - 4) = (2, - 2)

Suma de Vectores

Si tenemos dos vectores podemos sumarlos y hallar un tercero (llamado en física: resultante). Hay autores que indican que una magnitud es vectorial si se los puede sumar mediante en método del paralelogramo. 

Método del paralelogramo: es un método geométrico en el cual trazamos dos segmentos paralelos a la dirección de cada vector, por los extremos de los mismos. Uniendo la intersección de los vectores y de los segmentos paralelos (puntos en color) obtendremos el vector suma.

Analíticamente, se suman las componentes.

A = (0, 5)

B = (5, 4)

A + B = (0,5) + (5,4) = (0 + 5, 5 + 4) = (5, 9)

Propiedades:

  1. A + B = C (al sumar dos vectores se obtiene otro vector - ley de composición interna)

  2. a. A = a (x1 , x2) = (a x1 , a x2)  (para a Î R)  [el producto de un vector y un escalar da otro vector]

  3. (- 1) . A = - A (opuesto)        A- 1 = 1 / A (inverso)

  4. A + (B + C) = (A + B) + C   (propiedad asociativa)

  5.  A + B = B + A  (propiedad conmutativa)

  6.   a . (A + B) = a . A + a . B    (para a Î R)  (propiedad distributiva)

  7.  A (a + b) = A . a + A . b      (para a Î R, b Î R)

  8.  A + 0 = 0 + A = A  [0 representa el vector nulo (0, 0) que es neutro en suma]

  9.  A + (- A) = 0

  10.  1 . A = A  (1 es neutro en producto)

  11.  0 . A = 0  (0 es absorvente en el producto)

Los vectores que se encuentren en el plano pertenecerán a R2 y se llamarán "pares"; mientras los que se ubiquen en el espacio de tres dimensiones pertenecerán a R3 (llamándose ternas), si hay cuatro dimensiones pertenecerán a R4, así sucesivamente.

Vectores linealmente dependientes

Al multiplicar un vector por un escalar obtenemos otro vector que pertenece a la misma recta de acción (igual dirección) pero cambia su módulo y (dependiendo del signo del número) puede cambiar el sentido. Este vector es linealmente dependiente del primero.

a. A = a (x1 , x2) = (a x1 , a x2)

Si a = 3 y A = (2, - 5) Þ 3. (2, - 5) = (3. 2, 3. (-5)) = (6, - 15)

Tenemos dos vectores U = (2, 4) = 2 (1, 2) y V = (1, 2) que pueden sumarse dando como resultado el vector nulo, son linealmente dependientes.

a (2, 4) + b (1, 2) = (0, 0)

si a = 1 y  b = - 2 Þ 1(2, 4) + (- 2) (1, 2) = (2, 4) + (- 2, - 4) = (2 - 2, 4 - 4) = (0, 0)

Generalicemos: 

Dos vectores U y V son linealmente dependientes cuando los escalares a, b para los cuales se cumple: a. U + b. V = 0 no son nulos (no valen cero).

Vectores linealmente independientes

La definición es evidente, si el valor de a y b, para que la suma de un vector nulo, únicamente puede ser cero, entonces, los vectores son linealmente independientes.

 a. U + b. V = 0  ® si a = 0 y b = 0 (única opción) el sistema es linealmente independiente

 ® si a ¹ 0 y b ¹ 0 el sistema es linealmente dependiente

Combinación lineal: Base de vectores

La expresión " a. U + b. V" se llama combinación lineal de U, V.

Al ser U y V linealmente independientes pueden, al sumarse, generar cualquier vector del plano (llamémosle W). Así que U y V constituyen una base de los vectores del plano si todo vector W del plano se puede expresar de manera única como combinación lineal de U y V: 

a. U + b. V = W

Evidentemente dos vectores linealmente dependientes no podrán constituir nunca una base, ya que sólo darán, en su suma, vectores colineales a ellos.

Demos un ejemplo:

1) si a = 2 y  b = - 1 para:

a (2, 4) + b (1, 2) Þ 2 (2, 4) + (- 1) (1, 2) = (2. 2 - 1. 1 , 2. 4 - 1. 2) = (3, 6)

(2, 4) = 2 (1, 2) (linealmente dependientes)

(3, 6) = 3 (1, 2) (son colineales)

Así que {(2, 4), (1, 2)}no pueden formar una base.

2) si a = 2 y  b = - 1 para:

a (2, 0) + b (1, 2) Þ 2 (2, 0) + (- 1)(1, 2) = (2. 2 - 1. 2, 2. 0 - 1. 2) = (2, - 2)

Así que {(2, 0), (1, 2)}pueden formar una base. (verifica la independencia lineal de los vectores tú mismo/a)

Ángulo entre dos vectores

Los vectores pertenecen a una recta que determina su dirección. Estas rectas, a su vez, dividen al plano en dos; cada una de "esas partes" constituye un semiplano. Si tenemos dos vectores que no son colineales, cada una de las rectas determina un semiplano (uno por cada recta); la intersección de ambos semiplanos determina el ángulo que se encuentra entre ambos. El valor del ángulo está acotado entre los valores 0º y 180º (p). Si el ángulo es de 90º (p/2) los vectores son perpendiculares u ortogonales. Si poseemos dos vectores, no nulos, ortogonales, tenemos una base ortogonal. El hecho de ser ortogonales implica que son linealmente independientes.

Producto escalar (o interno)

Dado dos vectores A y B llamaremos producto escalar de A y B al número real determinado por:

A . B = | A | . | B | . cos a

Siendo a el ángulo entre ambos vectores.

Si tenemos dos vectores A = {a1, a2, . . ., an} y B = {b1, b2, . . ., bn} el producto escalar entre ambos puede hallarse mediante la sumatoria del producto de cada una de sus coordenadas.

A . B =  a1b1+ a2 b2 + . . . + an bn

Propiedades

  1. A . B = B . A

  2. A . (B + C) = A . B + A . C

  3. (a . A) . B = A . (a. B)                             (para a Î R)

  4. A . A > 0                                                 (para A ¹ 0)

  5. | A . B| < | A | . | B |                                  (desigualdad de Cauchy - Schwarz)

  6. Si A ¹ 0, B ¹0 y a = 90º Þ A . B = 0     (El producto escalar de vectores ortogonales es nulo ya que el cos 90º = 0.)

Aplicaciones en física: Trabajo Mecánico

¿Como se determina el valor del ángulo entre dos vectores?

A - B = C

(A - B)2 = C2

A2 - 2. A . B + B2 = C2

A2 - 2. A . B cos a + B2 = C2

¡¡Ojo!!, trabajamos con los módulos de los vectores

 Se aplica el cuadrado de un binomio

se aplica producto escalar

despejamos el "cos" del ángulo

 

 

"arccos" es en tu calculadora : "shift cos" o "2nd cos" depende del tipo de calculadora.

Producto vectorial

Dado dos vectores A y B llamaremos producto vectorial de A = {a1, a2, a3} y B = {b1, b2, b3} al vector determinado por: A x B =  (a2b3 - a3 b2 , a3b1 - a1 b3 a1 b2 - a2b1)

En este caso son vectores de R3 pero es aplicable a vectores de cualquier dimensión. El vector resultante será perpendicular al plano en el que se encuentran A y B..

Propiedades

  1. A x B = - (A x B)

  2. A x (B + C) = A x B + A x C

  3. (a . A) x B = A x (a. B)                             (para a Î R)

  4. A x B es perpendicular a A y a B

  5. (A x B) x C = A x (B x C)

  6. (A x B)2 = (A . A) . (B . B) - (A . B)2

  7. | A x B | = | A | . | B | . | sen a |

Aplicaciones en matemática:

Área : el producto vectorial se utiliza para calcular el área del paralelogramo determinado por los vectores

Ejemplo: | (2, 5) x (3, 2)| = | 2 . 2 -  5 . 3| = | 4 - 15| = | - 11| = 11.

Aplicaciones en física: Campo magnético (en proceso de armado, se las debo . . .)

Versor (vector unitario)

El versor o vector unitario es un vector cuyo módulo es 1. 

Una base ortogonal de los vectores del plano es una vector ortogonales unitarios. i es el versor de dirección horizontal (eje x) mientras que j es de dirección vertical (eje y). El vector k representa la tercera dimensión (eje z).

Así si R = (2, 3, 5)  puede escribirse como 

R = 2 i + 3 j + 5 k.

Este tipo de notación es muy utilizada en física.

Cálculo Combinatorio